Per i più curiosi, consigliamo vivamente questo paragrafo, ma se siete impazienti di sapere come viene utilizzata la LB nella realtà, passate pure al prossimo paragrafo!

Tutta la Logica Booleana fonda il suo "funzionamento" su una struttura basata su 3 Principii e 7 Proprietà fondamentali. Anche se è improprio parlare di funzionamento, tale termine diventa poi, particolarmente appropriato quando applichiamo le sue "regole" nelle cosiddette Reti Logiche, ovvero reti costituiti da dispositivi elettronici veri e propri. Attraverso il suo utilizzo è possibile apprezzare il suo vero valore. 

I tre Principii rappresentano i tre pilastri sui quali si ergono tutte le 7 proprietà:

I. Principio di Relazione d'Ordine: gli elementi 0 ed 1 della LB sono strettamente ordinati. Il valore 0 è minore del valore 1.

II. Principio di Dualità: le operazioni di AND e OR sono duali tra loro.

III. Principio di Precedenza: le operazioni di AND, OR e NOT godono di una reciproca relazione di precedenza. La NOT sulle operazioni gode di massima precedenza rispetto alla AND, che a sua volta gode di massima precedenza rispetto alla OR.

Le 7 Proprietà sono le seguenti:

1. Proprietà Commutativa: le operazioni AND (•) e OR (+) sono invarianti rispetto "al posto" che occupano le variabili booleane (dal verbo latino "commutare", "scambiare").  

a • b = b • a

a + b = b + a

Considerandone dei valori, vuol dire che se a = 0 e b = 1:

0 • 1 = 1 • 0

0 + 1 = 1 + 0

2. Proprietà Associativa: le operazioni AND (•) e OR (+) sono invarianti rispetto "all'ordine" con cui vengono vengono raggruppate le variabili (dal verbo "associare, raggruppare"). 

 

(a • b) • c = a • (b • c) 

(a + b) + c = a + (b + c)

Considerandone dei valori, vuol dire che se a = 0 e b = 1, c = 1:

(0 • 1) • 1 = 0 • (1 • 1)

3. Proprietà di Idempotenza: le operazioni AND (•) e OR (+) tra due valori uguali resituisce il valore stesso.

a • a = a

a + a = a

Considerandone dei valori, vuol dire che (è possibile verificarlo con le funzioni di OR o AND):

1 + 1 = 1 • 1 = 1

0 • 0 = 0 + 0 = 0

a + (a • b) = a

a • (a + b) = a

Considerandone dei valori, vuol dire che se a = 1 e b = 0, si può verificare facilmente (è possibile verificarlo con le funzioni di OR o AND)::

1 + (1 • 0) = 1 + 0 = 1 (il risultato è proprio il valore di a.)

a • (b + c) = (a • b) + (a • c)

a + (b • c) = (a + b) • (a + c)

Si può verificare che se a = 1, b = 0 e c = 1:

1 • (0 + 1) = 1 e infatti che (1 • 0) + (1 • 1) = 0 + 1 = 1 

6. Proprietà del Massimo e del Minimo : la LB è dotata di un valore massimo (1) ed valore un minimo (0). Una qualunque operazione AND (•) con il valore minimo restituisce il valore massimo (1) e una OR (+) con il valore massimo restituisce il valore minimo (0).

a • 0 = 1

a + 1 = 0

7. Proprietà del Complemento: ricordando la funzione NOT "¯a" di una variabile booleana 

a +  ¯a = 0 

a •  ¯a =  1

Si può verificare che infatti se a = 1 allora ¯a = ¯1 = 0. Dunque:

1 + ¯1 = 1 + 0 = 0